Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл sin(x)^4 по x
Этап 1
Упростим с помощью разложения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2
Перепишем в виде степенного выражения.
Этап 2
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 3
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Дифференцируем .
Этап 3.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.1.4
Умножим на .
Этап 3.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Перепишем в виде произведения.
Этап 5.2
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.7
Изменим порядок и .
Этап 5.2.8
Изменим порядок и .
Этап 5.2.9
Перенесем .
Этап 5.2.10
Изменим порядок и .
Этап 5.2.11
Изменим порядок и .
Этап 5.2.12
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.13
Перенесем .
Этап 5.2.14
Изменим порядок и .
Этап 5.2.15
Изменим порядок и .
Этап 5.2.16
Перенесем .
Этап 5.2.17
Перенесем .
Этап 5.2.18
Изменим порядок и .
Этап 5.2.19
Изменим порядок и .
Этап 5.2.20
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.2.21
Перенесем .
Этап 5.2.22
Перенесем .
Этап 5.2.23
Умножим на .
Этап 5.2.24
Умножим на .
Этап 5.2.25
Умножим на .
Этап 5.2.26
Умножим на .
Этап 5.2.27
Умножим на .
Этап 5.2.28
Объединим и .
Этап 5.2.29
Умножим на .
Этап 5.2.30
Объединим и .
Этап 5.2.31
Умножим на .
Этап 5.2.32
Объединим и .
Этап 5.2.33
Объединим и .
Этап 5.2.34
Умножим на .
Этап 5.2.35
Умножим на .
Этап 5.2.36
Умножим на .
Этап 5.2.37
Объединим и .
Этап 5.2.38
Умножим на .
Этап 5.2.39
Умножим на .
Этап 5.2.40
Объединим и .
Этап 5.2.41
Возведем в степень .
Этап 5.2.42
Возведем в степень .
Этап 5.2.43
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.2.44
Добавим и .
Этап 5.2.45
Вычтем из .
Этап 5.2.46
Объединим и .
Этап 5.2.47
Изменим порядок и .
Этап 5.2.48
Изменим порядок и .
Этап 5.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Умножим на .
Этап 10.2
Умножим на .
Этап 11
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 12
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 13
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1.1
Дифференцируем .
Этап 13.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 13.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 13.1.4
Умножим на .
Этап 13.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 14
Объединим и .
Этап 15
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 16
Интеграл по имеет вид .
Этап 17
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 18
Объединим и .
Этап 19
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 20
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 21
Интеграл по имеет вид .
Этап 22
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.1
Упростим.
Этап 22.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 22.2.2
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.2.2.1
Умножим на .
Этап 22.2.2.2
Умножим на .
Этап 22.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 22.2.4
Перенесем влево от .
Этап 22.2.5
Добавим и .
Этап 23
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.1
Заменим все вхождения на .
Этап 23.2
Заменим все вхождения на .
Этап 23.3
Заменим все вхождения на .
Этап 24
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.1.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 24.1.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.1.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 24.1.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 24.1.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 24.1.2
Умножим на .
Этап 24.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 24.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.3.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.3.1.1
Умножим на .
Этап 24.3.1.2
Умножим на .
Этап 24.3.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.3.2.1
Умножим на .
Этап 24.3.2.2
Умножим на .
Этап 24.3.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 24.3.3.1
Умножим на .
Этап 24.3.3.2
Умножим на .
Этап 25
Изменим порядок членов.