Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Тогда $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + e^{2 x} |) + C$