Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln ({(x)}^{4})}{x} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\ln (x^{4})}{x}$ в виде $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\int \frac{4 \ln (x)}{x} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Этап 3

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} u^{2} + C$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} u^{2} + C$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} u^{2} + C$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} u^{2} + C$

Этап 5.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 u^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$2 \ln^{2} (x) + C$