Математический анализ Примеры

$\int {(1 - 2 x)}^{9} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 1.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{9} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{9} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Объединим $u^{9}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{u^{9}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{u^{9}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int u^{9} d u)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{9}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- \frac{1}{2} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{10 \cdot 2} u^{10} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $10$ на $2$ .

$- \frac{1}{20} u^{10} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$- \frac{1}{20} {(1 - 2 x)}^{10} + C$