Математический анализ Примеры

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

Этап 5

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $12$ и $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 8.2.4

Вынесем множитель $3$ из $24 x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Этап 8.2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Этап 8.2.5.2

Сократим общий множитель.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Этап 8.2.5.3

Перепишем это выражение.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Этап 8.2.5.4

Разделим $8 x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$