Математический анализ Примеры

$\int (1 + 3 t) t^{2} d t$

Этап 1

Развернем $(1 + 3 t) t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 t^{2} + 3 t \cdot t^{2} d t$

Этап 1.2

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$\int t^{2} + 3 t \cdot t^{2} d t$

Этап 1.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int t^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) d t$

Этап 1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{2} + 3 t^{1 + 2} d t$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int t^{2} + 3 t^{3} d t$

Этап 1.6

Изменим порядок $t^{2}$ и $3 t^{3}$ .

$\int 3 t^{3} + t^{2} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 t^{3} d t + \int t^{2} d t$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int t^{3} d t + \int t^{2} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int t^{2} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{4}$ .

$3 (\frac{t^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} t^{3} + C$

Этап 6.2

Упростим.

$\frac{3 t^{4}}{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{4} t^{4} + \frac{1}{3} t^{3} + C$