Математический анализ Примеры

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x^2+1}}$ в виде ${\displaystyle {(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2+1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x^2+1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Упростим члены.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}\right)}^2}$.

Упростим.

Продифференцируем, используя правило степени.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2+1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x^2+1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[1\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle -2x^2}$.

Сократим общие множители.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Чтобы записать ${\displaystyle {(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle {(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle {(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle {(x^2+1)}^1}$.

Вычтем ${\displaystyle x^2}$ из ${\displaystyle x^2}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{\frac{1}{{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^2+1}}$ в виде произведения.

Умножим ${\displaystyle \frac{1}{{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}}$ на ${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$.

Умножим ${\displaystyle {(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle x^2+1}$, сложив экспоненты.

Применим основные правила для показателей степени.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-\frac{3}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2+1}$.