Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} d x$

Этап 1

Изменим порядок $4$ и $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} d x$

Этап 2

Разделим $x^{2}$ на $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 4$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$4$

Этап 2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - \int \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$x + C - (4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 7.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 7.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$x + C - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$x + C - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$x - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$x - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$