Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

Этап 3

Развернем $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.7

Вычтем $4$ из $2$ .

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.8

Изменим порядок $1$ и $- 3 x^{- 2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

Этап 3.9

Перенесем $1$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Этап 7

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

Этап 9.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

Этап 11

Упростим.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$