Математический анализ Примеры

\int \sqrt{x^{2} + 4} d x

$\int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Этап 1

Пусть

x = 2 tan (t)

$x = 2 \tan (t)$ , где

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда

d x = 2 {sec}^{2} (t) d t

$d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение

2 {sec}^{2} (t)

$2 \sec^{2} (t)$ положительно.

\int \sqrt{{(2 tan (t))}^{2} + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим

\sqrt{{(2 tan (t))}^{2} + 4}

$\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к

2 tan (t)

$2 \tan (t)$ .

\int \sqrt{2^{2} {tan}^{2} (t) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

\int \sqrt{4 {tan}^{2} (t) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

\int \sqrt{4 {tan}^{2} (t) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 {tan}^{2} (t) + 4

$4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 {tan}^{2} (t)

$4 \tan^{2} (t)$ .

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t)) + 4} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель

4

$4$ из

4

$4$ .

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t)) + 4 (1)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 ({tan}^{2} (t)) + 4 (1)

$4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t) + 1)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

\int \sqrt{4 ({tan}^{2} (t) + 1)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.3

Применим формулу Пифагора.

\int \sqrt{4 {sec}^{2} (t)} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.4

Перепишем

4 {sec}^{2} (t)

$4 \sec^{2} (t)$ в виде

{(2 sec (t))}^{2}

${(2 \sec (t))}^{2}$ .

\int \sqrt{{(2 sec (t))}^{2}} (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

\int 2 sec (t) (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

\int 2 sec (t) (2 {sec}^{2} (t)) d t

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\int 4 sec (t) {sec}^{2} (t) d t

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2.2

Умножим

sec (t)

$\sec (t)$ на

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ .

\int 4 ({sec}^{2} (t) sec (t)) d t

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.2.2

Умножим

{sec}^{2} (t)

$\sec^{2} (t)$ на

sec (t)

$\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Возведем

sec (t)

$\sec (t)$ в степень

1

$1$ .

\int 4 ({sec}^{2} (t) {sec}^{1} (t)) d t

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.2.2.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\int 4 {sec (t)}^{2 + 1} d t

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

\int 4 {sec (t)}^{2 + 1} d t

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Этап 2.2.2.3

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

\int 4 {sec}^{3} (t) d t

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Этап 3

Поскольку

4

$4$ — константа по отношению к

t

$t$ , вынесем

4

$4$ из-под знака интеграла.

4 \int {sec}^{3} (t) d t

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Этап 4

Вынесем множитель

sec (t)

$\sec (t)$ из

{sec}^{3} (t)

$\sec^{3} (t)$ .

4 \int sec (t) {sec}^{2} (t) d t

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

u = sec (t)

$u = \sec (t)$ и

d v = {sec}^{2} (t)

$d v = \sec^{2} (t)$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int tan (t) (sec (t) tan (t)) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Этап 6

Возведем

tan (t)

$\tan (t)$ в степень

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int {tan}^{1} (t) tan (t) sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Этап 7

Возведем

tan (t)

$\tan (t)$ в степень

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int {tan}^{1} (t) {tan}^{1} (t) sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 8

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

4 (sec (t) tan (t) - \int {tan (t)}^{1 + 1} sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int {tan}^{2} (t) sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 9.2

Изменим порядок

{tan}^{2} (t)

$\tan^{2} (t)$ и

sec (t)

$\sec (t)$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int sec (t) {tan}^{2} (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

4 (sec (t) tan (t) - \int sec (t) {tan}^{2} (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Этап 10

Используя формулы Пифагора, запишем

{tan}^{2} (t)

$\tan^{2} (t)$ в виде

- 1 + {sec}^{2} (t)

$- 1 + \sec^{2} (t)$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int sec (t) (- 1 + {sec}^{2} (t)) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Этап 11

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

4 (sec (t) tan (t) - \int sec (t) (- 1 + sec (t) sec (t)) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

4 (sec (t) tan (t) - \int sec (t) \cdot - 1 + sec (t) (sec (t) sec (t)) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 11.3

Изменим порядок

sec (t)

$\sec (t)$ и

- 1

$- 1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 \cdot sec (t) + sec (t) (sec (t) sec (t)) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 \cdot sec (t) + sec (t) (sec (t) sec (t)) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 12

Возведем

sec (t)

$\sec (t)$ в степень

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 sec (t) + {sec}^{1} (t) sec (t) sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Этап 13

Возведем

sec (t)

$\sec (t)$ в степень

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 sec (t) + {sec}^{1} (t) {sec}^{1} (t) sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 14

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 sec (t) + {sec (t)}^{1 + 1} sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 15

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 sec (t) + {sec}^{2} (t) sec (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 16

Возведем

sec (t)

$\sec (t)$ в степень

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 sec (t) + {sec}^{2} (t) {sec}^{1} (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Этап 17

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 sec (t) + {sec (t)}^{2 + 1} d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Этап 18

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

4 (sec (t) tan (t) - \int - 1 sec (t) + {sec}^{3} (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Этап 19

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

4 (sec (t) tan (t) - (\int - 1 sec (t) d t + \int {sec}^{3} (t) d t))

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 20

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

t

$t$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

4 (sec (t) tan (t) - (- \int sec (t) d t + \int {sec}^{3} (t) d t))

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 21

Интеграл

sec (t)

$\sec (t)$ по

t

$t$ имеет вид

ln (| sec (t) + tan (t) |)

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

4 (sec (t) tan (t) - (- (ln (| sec (t) + tan (t) |) + C) + \int {sec}^{3} (t) d t))

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 22

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим свойство дистрибутивности.

4 (sec (t) tan (t) - - (ln (| sec (t) + tan (t) |) + C) - \int {sec}^{3} (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 22.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

4 (sec (t) tan (t) + 1 (ln (| sec (t) + tan (t) |) + C) - \int {sec}^{3} (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

4 (sec (t) tan (t) + 1 (ln (| sec (t) + tan (t) |) + C) - \int {sec}^{3} (t) d t)

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 23

Найдя решение для

\int {sec}^{3} (t) d t

$\int \sec^{3} (t) d t$ , получим

\int {sec}^{3} (t) d t

$\int \sec^{3} (t) d t$ =

\frac{sec (t) tan (t) + 1 (ln (| sec (t) + tan (t) |) + C)}{2}

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

4 (\frac{sec (t) tan (t) + 1 (ln (| sec (t) + tan (t) |) + C)}{2} + C)

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Этап 24

Умножим

ln (| sec (t) + tan (t) |) + C

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ на

1

$1$ .

4 (\frac{sec (t) tan (t) + ln (| sec (t) + tan (t) |) + C}{2} + C)

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Этап 25

Упростим.

4 (\frac{1}{2}) (sec (t) tan (t) + ln (| sec (t) + tan (t) |)) + C

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Объединим

4

$4$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{4}{2} (sec (t) tan (t) + ln (| sec (t) + tan (t) |)) + C

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 26.2

Сократим общий множитель

4

$4$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

4

$4$ .

\frac{2 \cdot 2}{2} (sec (t) tan (t) + ln (| sec (t) + tan (t) |)) + C

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 26.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (sec (t) tan (t) + ln (| sec (t) + tan (t) |)) + C

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 26.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 26.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 26.2.2.4

Разделим

$2$ на

$1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 27

Заменим все вхождения

$t$ на

$\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

$(1, \frac{x}{2})$ ,

$(1, 0)$ и начале координат. Тогда

$\arctan (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

$(1, \frac{x}{2})$ . Следовательно,

$\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ равно

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.2

Применим правило умножения к

$\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.3

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.4

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.6

Перепишем

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ в виде

${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1.6.1

Вынесем полную степень

$1^{2}$ из

$4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.6.2

Вынесем полную степень

$2^{2}$ из

$4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.6.3

Перегруппируем дробь

$\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.8

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.9

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.10

Объединим.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.11

Умножим

$2$ на

$2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1.12.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

$(1, \frac{x}{2})$ ,

$(1, 0)$ и начале координат. Тогда

$(1, \frac{x}{2})$ . Следовательно,

$\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ равно

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.2

Применим правило умножения к

$\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.3

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.4

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.6

Перепишем

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ в виде

${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1.12.6.1

Вынесем полную степень

$1^{2}$ из

$4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.6.2

Вынесем полную степень

$2^{2}$ из

$4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.6.3

Перегруппируем дробь

$\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.8

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 28.1.12.9

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Этап 28.1.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Этап 28.1.14

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Этап 28.2

Чтобы записать

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Этап 28.3

Объединим

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ и

$\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Этап 28.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Этап 28.5

Перенесем

$4$ влево от

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Этап 28.6

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.6.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Этап 28.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Этап 28.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Этап 29

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$