Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл квадратного корня из x^2+4 по x
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 2.1.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.1.3
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.4
Перепишем в виде .
Этап 2.1.5
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Умножим на .
Этап 2.2.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.2.1
Перенесем .
Этап 2.2.2.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.2.2.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.2.3
Добавим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Вынесем множитель из .
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Возведем в степень .
Этап 7
Возведем в степень .
Этап 8
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 9
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Добавим и .
Этап 9.2
Изменим порядок и .
Этап 10
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 11
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 11.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 11.3
Изменим порядок и .
Этап 12
Возведем в степень .
Этап 13
Возведем в степень .
Этап 14
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 15
Добавим и .
Этап 16
Возведем в степень .
Этап 17
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 18
Добавим и .
Этап 19
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 20
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 21
Интеграл по имеет вид .
Этап 22
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 22.2
Умножим на .
Этап 23
Найдя решение для , получим = .
Этап 24
Умножим на .
Этап 25
Упростим.
Этап 26
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 26.1
Объединим и .
Этап 26.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 26.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 26.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 26.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 26.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 26.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 26.2.2.4
Разделим на .
Этап 27
Заменим все вхождения на .
Этап 28
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 28.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 28.1.1
Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках , и начале координат. Тогда  — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку . Следовательно, равно .
Этап 28.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 28.1.3
Возведем в степень .
Этап 28.1.4
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 28.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 28.1.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 28.1.6.1
Вынесем полную степень из .
Этап 28.1.6.2
Вынесем полную степень из .
Этап 28.1.6.3
Перегруппируем дробь .
Этап 28.1.7
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 28.1.8
Объединим и .
Этап 28.1.9
Тангенс и арктангенс — обратные функции.
Этап 28.1.10
Объединим.
Этап 28.1.11
Умножим на .
Этап 28.1.12
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 28.1.12.1
Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках , и начале координат. Тогда  — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку . Следовательно, равно .
Этап 28.1.12.2
Применим правило умножения к .
Этап 28.1.12.3
Возведем в степень .
Этап 28.1.12.4
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 28.1.12.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 28.1.12.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 28.1.12.6.1
Вынесем полную степень из .
Этап 28.1.12.6.2
Вынесем полную степень из .
Этап 28.1.12.6.3
Перегруппируем дробь .
Этап 28.1.12.7
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 28.1.12.8
Объединим и .
Этап 28.1.12.9
Тангенс и арктангенс — обратные функции.
Этап 28.1.13
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 28.1.14
Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.
Этап 28.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 28.3
Объединим и .
Этап 28.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 28.5
Перенесем влево от .
Этап 28.6
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 28.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 28.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 28.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 29
Изменим порядок членов.