Математический анализ Примеры

$\int x^{2} {(x^{3} - 1)}^{4} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} - 1$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $u^{4}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int u^{4} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5} u^{5} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{15} u^{5} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 1$ .

$\frac{1}{15} {(x^{3} - 1)}^{5} + C$