Математический анализ Примеры

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Этап 1

Пусть $x = \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 2.2.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 2.2.1.4

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.1.5

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Этап 2.2.2.2

Перепишем ${\sec (t)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (t)$ в виде $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 4

Пусть $u = \tan (t)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \tan (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Этап 4.1.2

Производная $\tan (t)$ по $t$ равна $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Этап 5

Умножим $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 6.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 6.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$