Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл 2x(6-x^2)^3 в пределах от -3 до -2 по x
Этап 1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Дифференцируем .
Этап 2.1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.3.3
Умножим на .
Этап 2.1.4
Вычтем из .
Этап 2.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.3.1.2
Умножим на .
Этап 2.3.2
Вычтем из .
Этап 2.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 2.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1.1
Возведем в степень .
Этап 2.5.1.2
Умножим на .
Этап 2.5.2
Вычтем из .
Этап 2.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 2.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.2
Объединим и .
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Умножим на .
Этап 6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Объединим и .
Этап 7.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.2.4
Разделим на .
Этап 8
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 9
Объединим и .
Этап 10
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Найдем значение в и в .
Этап 10.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.1
Возведем в степень .
Этап 10.2.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 10.2.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 10.2.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 10.2.2.2.4
Разделим на .
Этап 10.2.3
Возведем в степень .
Этап 10.2.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 10.2.5
Объединим и .
Этап 10.2.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 10.2.7
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.2.7.1
Умножим на .
Этап 10.2.7.2
Вычтем из .
Этап 10.2.8
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10.2.9
Умножим на .
Этап 10.2.10
Умножим на .
Этап 11
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Форма смешанных чисел:
Этап 12