Математический анализ Примеры

$\int arcsec (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = arcsec (x)$ и $d v = 1$ .

$arcsec (x) x - \int x \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arcsec (x) x - \int \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$arcsec (x) x - \int \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Этап 3

Пусть $x = \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec (t) \tan (t)$ положительно.

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим формулу Пифагора.

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $\tan (t)$ из $\sec (t) \tan (t)$ .

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$arcsec (x) x - \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$arcsec (x) x - \int \sec (t) d t$

Этап 5

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arcsec (x) x - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Этап 6

Упростим.

$arcsec (x) x - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (x)$ .

$arcsec (x) x - \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$