Математический анализ Примеры

$\int x \arcsin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arcsin (x)$ и $d v = x$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 2.2

Объединим $\arcsin (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Этап 4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 5

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \sin^{2} (t) d t$

Этап 7

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (t)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Этап 13

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 13.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 14

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 15

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Этап 16

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 17

Упростим.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $\sin (2 \arcsin (x))$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Этап 19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} \arcsin (x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Этап 19.3

Объединим $\arcsin (x)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Этап 19.4

Умножим $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Этап 19.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Этап 19.4.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4 \cdot 2} + C$

Этап 19.4.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Этап 19.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Этап 19.6

Объединим $\frac{\arcsin (x)}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} \arcsin (x)}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Этап 20.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x)) + C$