Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + x^{12}$ . Тогда $d u = 12 x^{11} d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + x^{12}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{12}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

Этап 2

Объединим $u^{11}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{11}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{12} u^{12}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $2$ в степень $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{12}$ и $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $4096$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Этап 5.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

Этап 5.2.6

Чтобы записать $\frac{1024}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

Этап 5.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $\frac{1024}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

Этап 5.2.7.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

Этап 5.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

Этап 5.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Умножим $1024$ на $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

Этап 5.2.9.2

Вычтем $1$ из $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $4095$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $4095$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

Этап 5.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Этап 5.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Этап 5.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

Этап 5.2.11

Умножим $\frac{1}{12}$ на $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

Этап 5.2.12

Умножим $12$ на $4$ .

$\frac{1365}{48}$

Этап 5.2.13

Сократим общий множитель $1365$ и $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $1365$ .

$\frac{3 (455)}{48}$

Этап 5.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $48$ .

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Этап 5.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Этап 5.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{455}{16}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{455}{16}$

Десятичная форма:

$28.4375$

Форма смешанных чисел:

$28 \frac{7}{16}$

Этап 7