Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} e^{- 4 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u_{upper} = - 4$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 4$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 2.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{- 4} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{- 4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int_{0}^{- 4} e^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 4}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- 4$ и в $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{0})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1 \cdot 1)$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{4} e^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 7.2

Объединим $e^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 7.3

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 7.4

Перенесем $e^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.24542109 \dots$

Этап 9