Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 5 от x квадратный корень из 25-x^2 по x
Этап 1
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Дифференцируем .
Этап 1.1.2
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.3
Умножим на .
Этап 1.1.4
Вычтем из .
Этап 1.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 1.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 1.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.3.2
Добавим и .
Этап 1.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 1.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.5.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.2
Вычтем из .
Этап 1.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 1.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
С помощью запишем в виде .
Этап 6
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 7
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Найдем значение в и в .
Этап 7.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Перепишем в виде .
Этап 7.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.4
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 7.2.5
Умножим на .
Этап 7.2.6
Перепишем в виде .
Этап 7.2.7
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.2.8
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.8.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.8.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.9
Возведем в степень .
Этап 7.2.10
Умножим на .
Этап 7.2.11
Объединим и .
Этап 7.2.12
Умножим на .
Этап 7.2.13
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 7.2.14
Вычтем из .
Этап 7.2.15
Умножим на .
Этап 7.2.16
Умножим на .
Этап 7.2.17
Умножим на .
Этап 7.2.18
Умножим на .
Этап 7.2.19
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.19.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.19.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.19.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.2.19.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.19.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 8
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Форма смешанных чисел:
Этап 9