Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{t} - 2 d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{t} d t + \int_{- 1}^{1} - 2 d t$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 1}^{1} t^{\frac{1}{3}} d t + \int_{- 1}^{1} - 2 d t$

Этап 3

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{3}}$ по $t$ имеет вид $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 d t$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1} + - 2 t]_{- 1}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1}$ и $- 2 t]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} - 2 t]_{- 1}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} - 2 t$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot 1) - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4} \cdot 1 - 2 \cdot 1 - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4} - 2 \cdot 1 - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3}{4} - 2 - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.4

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.5

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2 \cdot 4}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{3 - 8}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.7.2

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{- 5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.9

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.10

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.11.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.12

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 1 - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.13

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} - 2 \cdot - 1)$

Этап 5.2.2.14

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} + 2)$

Этап 5.2.2.15

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4})$

Этап 5.2.2.16

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5}{4} - \frac{3 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.2.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.18.1

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{5}{4} - \frac{3 + 8}{4}$

Этап 5.2.2.18.2

Добавим $3$ и $8$ .

$- \frac{5}{4} - \frac{11}{4}$

Этап 5.2.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 - 11}{4}$

Этап 5.2.2.20

Вычтем $11$ из $- 5$ .

$\frac{- 16}{4}$

Этап 5.2.2.21

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.21.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4}$

Этап 5.2.2.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.21.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Этап 5.2.2.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.2.2.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{1}$

Этап 5.2.2.21.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 6