Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} - 8} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8}$

Этап 1.1.1.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{x^{2}}{u^{2} - 2 u - 8}$

Этап 1.1.1.3

Разложим $u^{2} - 2 u - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 1.1.1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x^{2}}{(u - 4) (u + 2)}$

Этап 1.1.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2)}$

Этап 1.1.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2)}$

Этап 1.1.1.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 1.1.4

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.5

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} (x - 2)) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.7

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2}) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.8

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.8.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{A (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.1.2

Разделим $((A) (x - 2)) (x^{2} + 2)$ на $1$ .

$x^{2} = ((A) (x - 2)) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = (A x + A \cdot - 2) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$x^{2} = (A x - 2 \cdot A) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.4

Развернем $(A x - 2 A) (x^{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x (x^{2} + 2) - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} = A x^{2 + 1} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.5.2

Перенесем $2$ влево от $A x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 \cdot (A x) - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.6

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.6.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.6.2

Разделим $(B) (x + 2) (x^{2} + 2)$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B) (x + 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + B \cdot 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.8

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + 2 \cdot B) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.9

Развернем $(B x + 2 B) (x^{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x (x^{2} + 2) + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.10.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.10.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.10.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{2 + 1} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.10.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.10.2

Перенесем $2$ влево от $B x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 \cdot (B x) + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.10.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.11

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.11.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.1.9.11.2

Разделим $(C x + D) (x + 2) (x - 2)$ на $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x + D) (x + 2) (x - 2)$

Этап 1.1.9.12

Развернем $(C x + D) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x (x + 2) + D (x + 2)) (x - 2)$

Этап 1.1.9.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D (x + 2)) (x - 2)$

Этап 1.1.9.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Этап 1.1.9.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.13.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.13.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C (x \cdot x) + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Этап 1.1.9.13.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Этап 1.1.9.13.2

Перенесем $2$ влево от $C x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 \cdot (C x) + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Этап 1.1.9.13.3

Перенесем $2$ влево от $D$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$

Этап 1.1.9.14

Развернем $(C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.15

Объединим противоположные члены в $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.15.1

Изменим порядок множителей в членах $D x \cdot - 2$ и $2 D x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x - 2 D x + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.15.2

Добавим $- 2 D x$ и $2 D x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 0 + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.15.3

Добавим $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x$ и $0$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.16.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.16.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.16.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.2

Перенесем $- 2$ влево от $C x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 \cdot (C x^{2}) + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.16.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C (x \cdot x) + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.16.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D (x \cdot x) + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} + 2 D \cdot - 2$

Этап 1.1.9.16.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.9.17

Объединим противоположные члены в $C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.17.1

Добавим $- 2 C x^{2}$ и $2 C x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + 0 - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.9.17.2

Добавим $C x^{3}$ и $0$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Перенесем $A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.10.2

Перенесем $A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.10.3

Изменим порядок $B$ и $x^{3}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.10.4

Перенесем $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.10.5

Перенесем $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Этап 1.1.10.6

Перенесем $4 B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} + 4 B - 4 D$

Этап 1.1.10.7

Перенесем $- 4 A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.1.10.8

Перенесем $- 4 C x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.1.10.9

Перенесем $2 x B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.1.10.10

Перенесем $2 x A$ .

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.1.10.11

Перенесем $2 x^{2} B$ .

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + C x^{3} + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.1.10.12

Перенесем $- 2 x^{2} A$ .

$x^{2} = A x^{3} + B x^{3} + C x^{3} - 2 x^{2} A + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B + C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 2 A + 2 B + D$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

Этап 1.2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B + C = 0$ .

$A + B + C = 0$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.1.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A + C = - B$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.1.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 2 A + 2 B + D$ на $- B - C$ .

$1 = - 2 (- B - C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $- 2 (- B - C) + 2 B + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = - 2 (- B) - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$1 = 2 B - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.2.1.2

Добавим $2 B$ и $2 B$ .

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 2 A + 2 B - 4 C$ на $- B - C$ .

$0 = 2 (- B - C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1

Упростим $2 (- B - C) + 2 B - 4 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 2 (- B) + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.4.1.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 = - 2 B + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.4.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.4.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.2.1

Объединим противоположные члены в $- 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.2.1.1

Добавим $- 2 B$ и $2 B$ .

$0 = - 2 C + 0 - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.4.1.2.1.2

Добавим $- 2 C$ и $0$ .

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.4.1.2.2

Вычтем $4 C$ из $- 2 C$ .

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Этап 1.3.2.5

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 4 A + 4 B - 4 D$ на $- B - C$ .

$0 = - 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.2.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.6.1

Упростим $- 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 4 (- B) - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.2.6.1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$0 = 4 B - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.2.6.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.2.6.1.2

Добавим $4 B$ и $4 B$ .

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.3

Решим относительно $C$ в $0 = - 6 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 6 C = 0$ .

$- 6 C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.3.2

Разделим каждый член $- 6 C = 0$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 6 C = 0$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.3.2.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.3.1

Разделим $0$ на $- 6$ .

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $C$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $0 = 8 B + 4 C - 4 D$ на $0$ .

$0 = 8 B + 4 (0) - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $8 B + 4 (0) - 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$0 = 8 B + 0 - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.4.2.1.2

Добавим $8 B$ и $0$ .

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Этап 1.3.4.3

Заменим все вхождения $C$ в $1 = 4 B + 2 C + D$ на $0$ .

$1 = 4 B + 2 (0) + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Этап 1.3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1

Упростим $4 B + 2 (0) + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$1 = 4 B + 0 + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Этап 1.3.4.4.1.2

Добавим $4 B$ и $0$ .

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Этап 1.3.4.5

Заменим все вхождения $C$ в $A = - B - C$ на $0$ .

$A = - B - (0)$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Этап 1.3.4.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1

Вычтем $0$ из $- B$ .

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Этап 1.3.5

Решим относительно $D$ в $1 = 4 B + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $4 B + D = 1$ .

$4 B + D = 1$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Этап 1.3.5.2

Вычтем $4 B$ из обеих частей уравнения.

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Этап 1.3.6

Заменим все вхождения $D$ на $1 - 4 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Заменим все вхождения $D$ в $0 = 8 B - 4 D$ на $1 - 4 B$ .

$0 = 8 B - 4 (1 - 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Упростим $8 B - 4 (1 - 4 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 8 B - 4 \cdot 1 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.6.2.1.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 = 8 B - 4 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.6.2.1.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.6.2.1.2

Добавим $8 B$ и $16 B$ .

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7

Решим относительно $B$ в $0 = 24 B - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Перепишем уравнение в виде $24 B - 4 = 0$ .

$24 B - 4 = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$24 B = 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.3

Разделим каждый член $24 B = 4$ на $24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.1

Разделим каждый член $24 B = 4$ на $24$ .

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.2.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$B = \frac{4 (1)}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.7.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{6}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Заменим все вхождения $B$ в $D = 1 - 4 B$ на $\frac{1}{6}$ .

$D = 1 - 4 (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Упростим $1 - 4 (\frac{1}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$D = 1 + 2 (- 2) (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$D = 1 + \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$D = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$D = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.2.1.2.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Этап 1.3.8.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{6}$ .

$A = - (\frac{1}{6})$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

Этап 1.3.8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.4.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

Этап 1.3.9

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{6}, D = \frac{1}{3}, B = \frac{1}{6}, C = 0$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $\frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.1.2

Объединим.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + 2)}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Этап 1.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Этап 1.5.4.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Этап 1.5.4.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 \cdot 2}$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 2$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (2)}$

Этап 1.5.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (2)$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Этап 1.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Этап 1.5.7

Умножим $\frac{1}{x + 2}$ на $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 6} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Этап 1.5.8

Перенесем $6$ влево от $x + 2$ .

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Этап 1.5.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Этап 1.5.10

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{x - 2}$ .

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 8

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 2} d x$

Этап 11

Изменим порядок $x^{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 + x^{2}} d x$

Этап 12

Перепишем $2$ в виде ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C)$

Этап 14.2

Упростим.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Этап 14.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 2$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| x - 2 |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$