Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 1.2

Вынесем $t^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{4} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Этап 1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{4} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $2 t^{\frac{1}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.4

Найдем экспоненту.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 2 \cdot 1$

Этап 3.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 - 2$

Этап 3.2.8

Вычтем $2$ из $4$ .

$2$

Этап 4