Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} - 5 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{2}^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{2}^{3} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{2}^{3} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + - 5 x]_{2}^{3}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3}$ и $- 5 x]_{2}^{3}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x]_{2}^{3}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x$ в $3$ и в $2$ .

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 3) - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 5$ на $3$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Этап 5.2.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Этап 5.2.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Этап 5.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Этап 5.2.2.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 5 \cdot 2)$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 10)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} - - 10$

Этап 5.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} + 10$

Этап 5.3.2

Добавим $- 15$ и $10$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

Десятичная форма:

$- 4.36432550 \dots$

Этап 7