Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.2
Найдем предел числителя.
Этап 1.1.2.1
Вычислим предел.
Этап 1.1.2.1.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.1.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.1.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 1.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.3
Упростим ответ.
Этап 1.1.2.3.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.2.3.1.1
Точное значение : .
Этап 1.1.2.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.3.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3
Найдем предел знаменателя.
Этап 1.1.3.1
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 1.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 1.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.4
Найдем значение .
Этап 1.3.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.2
Производная по равна .
Этап 1.3.4.3
Умножим на .
Этап 1.3.4.4
Умножим на .
Этап 1.3.5
Добавим и .
Этап 1.3.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 3
Так как и , применим теорему о двух милиционерах.
Этап 4
Умножим на .
Этап 5
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: