Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{6}}{1 - x^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = 1 - x^{5}$ .

$\frac{(1 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{(1 - x^{5}) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $6$ влево от $1 - x^{5}$ .

$\frac{6 \cdot (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $1 - x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [- x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 1 x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.7.2

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} (5 x^{4})}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 3

Умножим $x^{6}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4} x^{6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4 + 6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $4$ и $6$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{10} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 4

Перенесем $5$ влево от $x^{10}$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 5 \cdot x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 (- x^{5})) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- (x^{5} x^{5})) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5 + 5}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.3

Добавим $5$ и $5$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{10}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{6 x^{5} - 6 x^{10} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Добавим $- 6 x^{10}$ и $5 x^{10}$ .

$\frac{6 x^{5} - x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{10} + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $x^{5}$ из $- x^{10} + 6 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $- x^{10}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $x^{5}$ из $6 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5} + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.7

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) - 1 (- 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{5}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.9

Перепишем $- (x^{5} - 6)$ в виде $- 1 (x^{5} - 6)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Этап 5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{5} (x^{5} - 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$