Математический анализ Примеры

$e^{x}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = e^{x + h}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $e^{x + h}$ .

$e^{x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - (e^{x})}{h}$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $e^{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.1.5

Найдем предел $e^{x}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{e^{x + 0} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3

Объединим противоположные члены в $e^{x + 0} - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{e^{x} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3.2

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $e^{x + h} - e^{x}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = e^{h}$ и $g (h) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.2

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.3

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.6

Умножим $e^{x + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.4

Поскольку $- e^{x}$ является константой относительно $h$ , производная $- e^{x}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.5

Добавим $e^{x + h}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{1}$

Этап 5.4

Разделим $e^{x + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{x + h}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 6.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$e^{x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 7

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$e^{x + 0}$

Этап 8

Добавим $x$ и $0$ .

$e^{x}$

Этап 9