Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Умножим $x^{2} + 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.2.7

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.4.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.6.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.6.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.10.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11

Развернем $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.2

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.1.12.3

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.2

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.3.3

Вычтем $4 x$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.4

Разложим $u^{2} - 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 1.1.2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ и ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.5.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Этап 1.1.2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 1.2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.3.3

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 1.2.3.3.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 1.2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x^{2} + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \sqrt{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $16$ и $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{17^{3}}$

Этап 4.2.2.3

Возведем $17$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{4913}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 - 3)}{4913}$

Этап 4.2.3.2

Вычтем $3$ из $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 13}{4913}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 8$ на $13$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 104}{4913}$

Этап 4.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 4) = - \frac{104}{4913}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{104}{4913}$ .

$- \frac{104}{4913}$

Этап 4.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - \sqrt{3})$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \sqrt{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \sqrt{3}, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{8}$

Этап 5.2.3.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{8}$

Этап 5.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (- 1) = \frac{4}{8}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f'' (- 1) = \frac{4 (1)}{8}$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Этап 5.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 1) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \sqrt{3}, 0)$ , поскольку $f'' (- 1)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \sqrt{3}, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(0, \sqrt{3})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{8}$

Этап 6.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{8}$

Этап 6.2.3.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{8}$

Этап 6.2.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (1) = \frac{- 4}{8}$

Этап 6.2.4.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f'' (1) = \frac{4 (- 1)}{8}$

Этап 6.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Этап 6.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Этап 6.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (1) = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (1) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(0, \sqrt{3})$ , поскольку $f'' (1)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(0, \sqrt{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(\sqrt{3}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} - 3)}{{({(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(4^{2} + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $16$ и $1$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{17^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $17$ в степень $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{4913}$

Этап 7.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 - 3)}{4913}$

Этап 7.2.3.2

Вычтем $3$ из $16$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 13}{4913}$

Этап 7.2.4

Умножим $8$ на $13$ .

$f'' (4) = \frac{104}{4913}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $\frac{104}{4913}$ .

$\frac{104}{4913}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(\sqrt{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(\sqrt{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \sqrt{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \sqrt{3}, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(0, \sqrt{3})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(\sqrt{3}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9