Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ , $0 < x < 2.5$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 34 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 34$ является константой относительно $x$ , производная $- 34 x^{2}$ по $x$ равна $- 34 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 34 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - 34 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x]$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 34$ .

$12 x^{2} - 68 x + \frac{d}{d x} [60 x]$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \cdot 1$

Этап 1.1.1.4.3

Умножим $60$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 68 x + 60$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 68 x + 60$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2} - 68 x + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 68 x + 60 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 68 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 60 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 4 (15) = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15) = 0$

Этап 1.2.2.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15)$ .

$4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 17 x + 15$ на $1$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = 0$

Этап 1.2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 17$ и $c = 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 15)}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 17$ в степень $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $180$ из $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 17$ в степень $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.1.3

Вычтем $180$ из $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.2.7.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Возведем $- 17$ в степень $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.1.3

Вычтем $180$ из $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.2.8.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ вместо $x$ .

$4 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $216$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.5.1

Возведем $17$ в степень $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.2

Возведем $17$ в степень $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.3

Умножим $3$ на $289$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.4

Умножим $3$ на $17$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.5

Перепишем ${\sqrt{109}}^{2}$ в виде $109$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{109}$ в виде $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.6

Умножим $51$ на $109$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.7

Перепишем ${\sqrt{109}}^{3}$ в виде $\sqrt{109^{3}}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.8

Возведем $109$ в степень $3$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.9

Перепишем $1295029$ в виде $109^{2} \cdot 109$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.5.9.1

Вынесем множитель $11881$ из $1295029$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.9.2

Перепишем $11881$ в виде $109^{2}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.5.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.6

Добавим $4913$ и $5559$ .

$\frac{10472 + 867 \sqrt{109} + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.7

Добавим $867 \sqrt{109}$ и $109 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.8

Сократим общий множитель $10472 + 976 \sqrt{109}$ и $54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $10472$ .

$\frac{2 (5236) + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $976 \sqrt{109}$ .

$\frac{2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})$ .

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.10

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 34$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.11.2

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.12

Объединим $- 17$ и $\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.13

Перепишем ${(17 + \sqrt{109})}^{2}$ в виде $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.14

Развернем $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 + \sqrt{109}) + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.15.1.1

Умножим $17$ на $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15.1.2

Перенесем $17$ влево от $\sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \cdot \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109 \cdot 109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15.1.4

Умножим $109$ на $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{11881})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15.1.5

Перепишем $11881$ в виде $109^{2}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109^{2}})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15.2

Добавим $289$ и $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.15.3

Добавим $17 \sqrt{109}$ и $17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.16

Сократим общий множитель $398 + 34 \sqrt{109}$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.16.1

Вынесем множитель $2$ из $- 17 (398 + 34 \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.1.2.1.18

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.18.1

Вынесем множитель $6$ из $60$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.4.1.2.1.18.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.4.1.2.1.18.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 + \sqrt{109})$

Этап 1.4.1.2.1.19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.1.20

Умножим $10$ на $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $\frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5.2

Умножим $- 17$ на $199$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5.3

Умножим $17$ на $- 17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5.5

Умножим $- 3383$ на $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5.6

Умножим $3$ на $- 289$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5.7

Вычтем $10149$ из $5236$ .

$\frac{- 4913 + 488 \sqrt{109} - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.5.8

Вычтем $867 \sqrt{109}$ из $488 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.6

Чтобы записать $170$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.7

Объединим $170$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $170$ на $27$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 4590}{27} + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.8.3

Добавим $- 4913$ и $4590$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.1.2.9

Чтобы записать $10 \sqrt{109}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 1.4.1.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.10.1

Объединим $10 \sqrt{109}$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Этап 1.4.1.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Этап 1.4.1.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.11.1

Умножим $27$ на $10$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 270 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.1.2.11.2

Добавим $- 379 \sqrt{109}$ и $270 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.1.2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.12.1

Перепишем $- 323$ в виде $- 1 (323)$ .

$\frac{- 1 (323) - 109 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.1.2.12.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 109 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 1 (323) - (109 \sqrt{109})}{27}$

Этап 1.4.1.2.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (323) - (109 \sqrt{109})$ .

$\frac{- 1 (323 + 109 \sqrt{109})}{27}$

Этап 1.4.1.2.12.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ вместо $x$ .

$4 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $216$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.5.1

Возведем $17$ в степень $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.2

Возведем $17$ в степень $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.3

Умножим $3$ на $289$ .

$\frac{4913 + 867 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.4

Умножим $- 1$ на $867$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.5

Умножим $3$ на $17$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{109}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 (1 {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.8

Умножим ${\sqrt{109}}^{2}$ на $1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.9

Перепишем ${\sqrt{109}}^{2}$ в виде $109$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.5.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{109}$ в виде $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.5.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.9.5

Найдем экспоненту.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.10

Умножим $51$ на $109$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{109}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.13

Перепишем ${\sqrt{109}}^{3}$ в виде $\sqrt{109^{3}}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.14

Возведем $109$ в степень $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.15

Перепишем $1295029$ в виде $109^{2} \cdot 109$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.5.15.1

Вынесем множитель $11881$ из $1295029$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.15.2

Перепишем $11881$ в виде $109^{2}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - (109 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.5.17

Умножим $109$ на $- 1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.6

Добавим $4913$ и $5559$ .

$\frac{10472 - 867 \sqrt{109} - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.7

Вычтем $109 \sqrt{109}$ из $- 867 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.8

Сократим общий множитель $10472 - 976 \sqrt{109}$ и $54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $10472$ .

$\frac{2 (5236) - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 976 \sqrt{109}$ .

$\frac{2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})$ .

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.10

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 34$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.11.2

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.12

Объединим $- 17$ и $\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.13

Перепишем ${(17 - \sqrt{109})}^{2}$ в виде $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.14

Развернем $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 - \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.15.1.1

Умножим $17$ на $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.2

Умножим $- 1$ на $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.3

Умножим $17$ на $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.4

Умножим $- \sqrt{109} (- \sqrt{109})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.15.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 1 \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.4.2

Умножим $\sqrt{109}$ на $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.4.3

Возведем $\sqrt{109}$ в степень $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.4.4

Возведем $\sqrt{109}$ в степень $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1 + 1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5

Перепишем ${\sqrt{109}}^{2}$ в виде $109$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{109}$ в виде $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {(109^{\frac{1}{2}})}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.2

Добавим $289$ и $109$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.15.3

Вычтем $17 \sqrt{109}$ из $- 17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.16

Сократим общий множитель $398 - 34 \sqrt{109}$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.16.1

Вынесем множитель $2$ из $- 17 (398 - 34 \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Этап 1.4.2.2.1.18

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.18.1

Вынесем множитель $6$ из $60$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.4.2.2.1.18.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Этап 1.4.2.2.1.18.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 - \sqrt{109})$

Этап 1.4.2.2.1.19

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 (- \sqrt{109})$

Этап 1.4.2.2.1.20

Умножим $10$ на $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 (- \sqrt{109})$

Этап 1.4.2.2.1.21

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.2

Чтобы записать $- \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.3.1

Умножим $\frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5.2

Умножим $- 17$ на $199$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5.3

Умножим $- 17$ на $- 17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 + 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5.5

Умножим $- 3383$ на $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5.6

Умножим $3$ на $289$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5.7

Вычтем $10149$ из $5236$ .

$\frac{- 4913 - 488 \sqrt{109} + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.5.8

Добавим $- 488 \sqrt{109}$ и $867 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.6

Чтобы записать $170$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.7

Объединим $170$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.8.2

Умножим $170$ на $27$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 4590}{27} - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.8.3

Добавим $- 4913$ и $4590$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109}$

Этап 1.4.2.2.9

Чтобы записать $- 10 \sqrt{109}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 1.4.2.2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.10.1

Объединим $- 10 \sqrt{109}$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Этап 1.4.2.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Этап 1.4.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.11.1

Умножим $27$ на $- 10$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 270 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.2.2.11.2

Вычтем $270 \sqrt{109}$ из $379 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.2.2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.12.1

Перепишем $- 323$ в виде $- 1 (323)$ .

$\frac{- 1 (323) + 109 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.2.2.12.2

Вынесем множитель $- 1$ из $109 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})}{27}$

Этап 1.4.2.2.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})$ .

$\frac{- 1 (323 - 109 \sqrt{109})}{27}$

Этап 1.4.2.2.12.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}), (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Этап 3

Определим точки возможного максимума или минимума с помощью первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$

Этап 3.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6})$ в первую производную $12 x^{2} - 68 x + 60$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 68 \cdot 0 + 60$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $- 68$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 60$

Этап 3.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 60$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $0$ и $60$ .

$f' (0) = 60$

Этап 3.2.2.3

Окончательный ответ: $60$ .

$60$

Этап 3.3

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6})$ в первую производную $12 x^{2} - 68 x + 60$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 68 \cdot 3 + 60$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 60$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $12$ на $9$ .

$f' (3) = 108 - 68 \cdot 3 + 60$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $- 68$ на $3$ .

$f' (3) = 108 - 204 + 60$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $204$ из $108$ .

$f' (3) = - 96 + 60$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $- 96$ и $60$ .

$f' (3) = - 36$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 36$ .

$- 36$

Этап 3.4

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$ в первую производную $12 x^{2} - 68 x + 60$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = 12 {(7)}^{2} - 68 \cdot 7 + 60$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (7) = 12 \cdot 49 - 68 \cdot 7 + 60$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $12$ на $49$ .

$f' (7) = 588 - 68 \cdot 7 + 60$

Этап 3.4.2.1.3

Умножим $- 68$ на $7$ .

$f' (7) = 588 - 476 + 60$

Этап 3.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Вычтем $476$ из $588$ .

$f' (7) = 112 + 60$

Этап 3.4.2.2.2

Добавим $112$ и $60$ .

$f' (7) = 172$

Этап 3.4.2.3

Окончательный ответ: $172$ .

$172$

Этап 3.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ , $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ — локальный максимум.

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ — локальный максимум

Этап 3.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ , $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ — локальный минимум.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ — локальный минимум

Этап 3.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ — локальный максимум

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ — локальный минимум

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ — локальный максимум

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ — локальный минимум

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Нет абсолютного минимума

Этап 5