Математический анализ Примеры

$x = \tan (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $\sec^{2} (y) y' = 1$ на $\sec^{2} (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $\sec^{2} (y) y' = 1$ на $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $\sec^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Этап 5.2.3.3

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Этап 5.2.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Этап 5.2.3.5

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (y) = \pm 0$

Этап 7.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\cos (y) = 0$

Этап 7.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (0)$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Этап 7.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 7.6

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 7.6.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.7

Найдем период $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.8

Период функции $\cos (y)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.9

Объединим ответы.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ .

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

Этап 8.2

Изменим порядок $\frac{π}{2}$ и $π n$ .

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

Этап 8.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

Этап 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

Этап 9.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$n = - \frac{1}{2}$

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

Этап 11