Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} = 8 x$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 8 x - x^{2}$

Этап 1.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{8 x - x^{2}}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $8 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 - x^{2}}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 + x (- x)}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 8 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (8 - x)}$

Этап 1.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

Этап 1.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

Этап 1.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 8 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Этап 3.2.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x$

Этап 3.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x = 8$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' = 8 - 2 x$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $2 y y' = 8 - 2 x$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $2 y y' = 8 - 2 x$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- x}{y}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{4}{y}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{y} = - \frac{4}{y}$

Этап 4.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- x = - 4$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \sqrt{(4) (8 - (4))}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (4) = \sqrt{4 (8 - 4)}$

Этап 5.2.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$f (4) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Этап 5.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (4) = \sqrt{16}$

Этап 5.2.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{4^{2}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4) = 4$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - \sqrt{(4) (8 - (4))}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (4) = - \sqrt{4 (8 - 4)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$f (4) = - \sqrt{4 \cdot 4}$

Этап 6.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (4) = - \sqrt{16}$

Этап 6.2.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (4) = - \sqrt{4^{2}}$

Этап 6.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4) = - 1 \cdot 4$

Этап 6.2.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (4) = - 4$

Этап 6.2.7

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = 4, y = - 4$

$y = 4, y = - 4$

Этап 8