Математический анализ Примеры

$12 x^{2} - 176 x + 484$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 176 x + 484$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 176$ является константой относительно $x$ , производная $- 176 x$ по $x$ равна $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 176 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x - 176 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 176$ на $1$ .

$24 x - 176 + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $484$ является константой относительно $x$ , производная $484$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x - 176 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $24 x - 176$ и $0$ .

$f' (x) = 24 x - 176$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x - 176$ .

$24 x - 176$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x - 176 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x - 176 = 0$

Этап 2.2

Добавим $176$ к обеим частям уравнения.

$24 x = 176$

Этап 2.3

Разделим каждый член $24 x = 176$ на $24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $24 x = 176$ на $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{176}{24}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $176$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $176$ .

$x = \frac{8 (22)}{24}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{22}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $12 x^{2} - 176 x + 484$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{22}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{22}{3}$ вместо $x$ .

$12 {(\frac{22}{3})}^{2} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{22}{3}$ .

$12 \frac{22^{2}}{3^{2}} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $22$ в степень $2$ .

$12 \frac{484}{3^{2}} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$12 (\frac{484}{9}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$3 (4) \frac{484}{9} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 \cdot 4 \frac{484}{3 \cdot 3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 4 \frac{484}{3 \cdot 3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{484}{3}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.5

Объединим $4$ и $\frac{484}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 484}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $4$ на $484$ .

$\frac{1936}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 4.1.2.1.7

Умножим $- 176 (\frac{22}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.7.1

Объединим $- 176$ и $\frac{22}{3}$ .

$\frac{1936}{3} + \frac{- 176 \cdot 22}{3} + 484$

Этап 4.1.2.1.7.2

Умножим $- 176$ на $22$ .

$\frac{1936}{3} + \frac{- 3872}{3} + 484$

Этап 4.1.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1936}{3} - \frac{3872}{3} + 484$

Этап 4.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$484 + \frac{1936 - 3872}{3}$

Этап 4.1.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вычтем $3872$ из $1936$ .

$484 + \frac{- 1936}{3}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$484 - \frac{1936}{3}$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $484$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$484 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1936}{3}$

Этап 4.1.2.4

Объединим $484$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{484 \cdot 3}{3} - \frac{1936}{3}$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{484 \cdot 3 - 1936}{3}$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $484$ на $3$ .

$\frac{1452 - 1936}{3}$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $1936$ из $1452$ .

$\frac{- 484}{3}$

Этап 4.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{484}{3}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{22}{3}, - \frac{484}{3})$

Этап 5