Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 36$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 6 x - 36$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 6 x - 36 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} - 6 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 6 x - 36 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) - 36 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 36$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 6) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2}) + 6 (- x)$ .

$6 (x^{2} - x) + 6 (- 6) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} - x) + 6 (- 6)$ .

$6 (x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$2 {(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 \cdot 27 - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $27$ .

$54 - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$54 - 3 \cdot 9 - 36 \cdot 3$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 3$ на $9$ .

$54 - 27 - 36 \cdot 3$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 36$ на $3$ .

$54 - 27 - 108$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $27$ из $54$ .

$27 - 108$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $108$ из $27$ .

$- 81$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$2 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$- 16 - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 16 - 3 \cdot 4 - 36 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 16 - 12 - 36 \cdot - 2$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 36$ на $- 2$ .

$- 16 - 12 + 72$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $12$ из $- 16$ .

$- 28 + 72$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 28$ и $72$ .

$44$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(3, - 81), (- 2, 44)$

Этап 5