Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + 7 x + 3}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 x^{2} + lim_{x \to - 3} 7 x + lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 7 x + lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 7 x + lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 lim_{x \to - 3} x + 3}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 + 3}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 + 3}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{0}{18 + 7 \cdot - 3 + 3}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $7$ на $- 3$ .

$\frac{0}{18 - 21 + 3}$

Этап 1.1.3.7.2

Вычтем $21$ из $18$ .

$\frac{0}{- 3 + 3}$

Этап 1.1.3.7.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{2 x^{2} + 7 x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x + 3]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 7 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 + \frac{d}{d x} [3]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $4 x + 7$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{4 x + 7}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{x}{4 x + 7}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 4 x + 7}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 4 x + lim_{x \to - 3} 7}$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{4 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7}$

Этап 2.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{4 lim_{x \to - 3} x + 7}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$2 \frac{- 3}{4 lim_{x \to - 3} x + 7}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$2 \frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$2 \frac{- 3}{- 12 + 7}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 12$ и $7$ .

$2 (\frac{- 3}{- 5})$

Этап 4.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$2 (\frac{3}{5})$

Этап 4.3

Умножим $2 (\frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{6}{5}$

Десятичная форма:

$1.2$