Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 12 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $12 x^{3} - 12 x$ и $0$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$12 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 12 x + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $12 x^{3} - 12 x$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(0)}^{2} - 12$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$36 \cdot 0 - 12$

Этап 9.1.2

Умножим $36$ на $0$ .

$0 - 12$

Этап 9.2

Вычтем $12$ из $0$ .

$- 12$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2} + 7$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 7$

Этап 11.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2} + 7$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0 + 7$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $7$ .

$f (0) = 7$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$y = 7$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(- 1)}^{2} - 12$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$36 \cdot 1 - 12$

Этап 13.1.2

Умножим $36$ на $1$ .

$36 - 12$

Этап 13.2

Вычтем $12$ из $36$ .

$24$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

Этап 15.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 3 - 6 \cdot 1 + 7$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f (- 1) = 3 - 6 + 7$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $6$ из $3$ .

$f (- 1) = - 3 + 7$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 3$ и $7$ .

$f (- 1) = 4$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(1)}^{2} - 12$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$36 \cdot 1 - 12$

Этап 17.1.2

Умножим $36$ на $1$ .

$36 - 12$

Этап 17.2

Вычтем $12$ из $36$ .

$24$

Этап 18

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2} + 7$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 6 {(1)}^{2} + 7$

Этап 19.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 6 {(1)}^{2} + 7$

Этап 19.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 7$

Этап 19.2.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 6 + 7$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $6$ из $3$ .

$f (1) = - 3 + 7$

Этап 19.2.2.2

Добавим $- 3$ и $7$ .

$f (1) = 4$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ .

$(0, 7)$ — локальный максимум

$(- 1, 4)$ — локальный минимум

$(1, 4)$ — локальный минимум

Этап 21