Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Этап 1

Запишем $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $x^{2} + 25$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.2.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.2.7

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.4

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} + 25)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.4.1.2

Перенесем $25$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.4.1.3

Умножим $25$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.4.2

Добавим $25 x^{2}$ и $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.6.1

Умножим $50$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.6.2

Умножим $- 2$ на $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.11

Развернем $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.4

Умножим $4$ на $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.1.5

Умножим $25$ на $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.2

Вычтем $100 x^{3}$ из $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.1.12.3

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.2

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.3.3

Вычтем $2500 x$ из $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.4

Разложим $u^{2} - 50 u - 1875$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 1875$ , а сумма — $- 50$ .

$- 75, 25$

Этап 3.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 25$ и ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Этап 3.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 3.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $x^{2} + 25$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$- x^{2} + 25 = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 25$

Этап 6.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Этап 6.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 6.3.4

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 6.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 6.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 6.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 6.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 5, - 5$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 (5) ({(5)}^{2} - 75)}{{({(5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(5^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Добавим $25$ и $25$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{50^{3}}$

Этап 10.2.3

Возведем $50$ в степень $3$ .

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{125000}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{10 (25 - 75)}{125000}$

Этап 10.3.2

Вычтем $75$ из $25$ .

$\frac{10 \cdot - 50}{125000}$

Этап 10.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $10$ на $- 50$ .

$\frac{- 500}{125000}$

Этап 10.4.2

Сократим общий множитель $- 500$ и $125000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вынесем множитель $500$ из $- 500$ .

$\frac{500 (- 1)}{125000}$

Этап 10.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Вынесем множитель $500$ из $125000$ .

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Этап 10.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

Этап 10.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{250}$

Этап 10.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{250}$

Этап 11

$x = 5$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 5$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = \frac{5}{25 + 25}$

Этап 12.2.1.2

Добавим $25$ и $25$ .

$f (5) = \frac{5}{50}$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $5$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (5) = \frac{5 (1)}{50}$

Этап 12.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Этап 12.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Этап 12.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5) = \frac{1}{10}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{10}$ .

$y = \frac{1}{10}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Этап 14.2.2

Добавим $25$ и $25$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{50^{3}}$

Этап 14.2.3

Возведем $50$ в степень $3$ .

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{125000}$

Этап 14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{- 10 (25 - 75)}{125000}$

Этап 14.3.2

Вычтем $75$ из $25$ .

$\frac{- 10 \cdot - 50}{125000}$

Этап 14.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $- 10$ на $- 50$ .

$\frac{500}{125000}$

Этап 14.4.2

Сократим общий множитель $500$ и $125000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Вынесем множитель $500$ из $500$ .

$\frac{500 (1)}{125000}$

Этап 14.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Вынесем множитель $500$ из $125000$ .

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Этап 14.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Этап 14.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{250}$

Этап 15

$x = - 5$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 5$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 25}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 25}$

Этап 16.2.1.2

Добавим $25$ и $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5}{50}$

Этап 16.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{50}$

Этап 16.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Этап 16.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Этап 16.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 5) = \frac{- 1}{10}$

Этап 16.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 5) = - \frac{1}{10}$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{10}$ .

$y = - \frac{1}{10}$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ .

$(5, \frac{1}{10})$ — локальный максимум

$(- 5, - \frac{1}{10})$ — локальный минимум

Этап 18