Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 0) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8

Добавим $3 x^{2} - 6 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.10

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Этап 2.10.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (3 x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Этап 2.10.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

Этап 2.10.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{3} - 6 x \cdot x - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 (x \cdot x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.6

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{x^{3}}$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $- 6 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 0 - 8}{x^{3}}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $3 x^{3} - 2 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 8}{x^{3}}$

Этап 4.3.3

Вычтем $2 x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 8}{x^{3}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{3}}$

Этап 4.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3}}$

Этап 4.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{3}}$

Этап 4.4.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{3}}$