Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Этап 1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Этап 1.4.2.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1.4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\sin (2 x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Этап 4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 5

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 7.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 7.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 7.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 8

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $2 \cos (x) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $2 \cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (x) = 1$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 8.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 8.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 8.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 8.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 8.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 8.2.7

Решение уравнения $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

Этап 11.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

Этап 11.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - \cos (0)$

Этап 11.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Этап 11.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1$

Этап 11.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$1$

Этап 12

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

Этап 13.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Этап 13.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 13.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (0) - \cos (π)$

Этап 15.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

Этап 15.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - \cos (π)$

Этап 15.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 - - \cos (0)$

Этап 15.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.1.6

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - - 1$

Этап 15.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 + 1$

Этап 15.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 16

$x = π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

Этап 17.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

Этап 17.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (π) = 0 + \cos (π)$

Этап 17.2.1.4

$f (π) = 0 - \cos (0)$

Этап 17.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 17.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

Этап 17.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (π) = - 1$

Этап 17.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 18

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 19

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 19.1.2

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 19.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 19.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 19.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 19.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 19.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Этап 19.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 19.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 19.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 19.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 19.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Этап 19.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2}$

Этап 20

$x = \frac{π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{3}$ — локальный максимум

Этап 21

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.2.1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 21.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 21.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 21.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 21.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Этап 21.2.5

Добавим $3$ и $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Этап 21.2.6

Окончательный ответ: $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Этап 22

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.1

Умножим $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Этап 23.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 23.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 23.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 23.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 23.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Этап 23.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2}$

Этап 24

$x = \frac{5 π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{3}$ — локальный максимум

Этап 25

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1.3.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.5

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 25.2.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 25.2.1.9

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 25.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 25.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 25.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 25.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Этап 25.2.5

Добавим $3$ и $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

Этап 25.2.6

Окончательный ответ: $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Этап 26

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ — локальный минимум

$(π, - 1)$ — локальный минимум

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ — локальный максимум

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ — локальный максимум

Этап 27