Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ на $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{x^{2}}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2.1.2

Найдем предел $x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2.1.5

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + 0)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} - {(x + 0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot 0}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{x^{2} \cdot 0}$

Этап 3.1.3.6.2

Умножим $x^{2}$ на $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x + h) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x (x + h) + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.6

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $x^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7.3

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $x^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7.4

Поскольку $2 x$ является константой относительно $h$ , производная $2 h x$ по $h$ равна $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.7.8

Добавим $0$ и $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.8.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.8.2.3

Вычтем $- (- 2 x - 2 h)$ из $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Этап 3.3.9

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) h]}$

Этап 3.3.10

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x (x + h) + h (x + h)) h]}$

Этап 3.3.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h (x + h)) h]}$

Этап 3.3.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Этап 3.3.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Этап 3.3.11.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h^{2}) h]}$

Этап 3.3.11.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + h x + h x + h^{2}) h]}$

Этап 3.3.11.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + 2 h x + h^{2}) h]}$

Этап 3.3.12

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ имеет вид $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , где $f (h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ и $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Этап 3.3.14

Умножим $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Этап 3.3.15

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Этап 3.3.16

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $x^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Этап 3.3.17

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Этап 3.3.18

Поскольку $2 x$ является константой относительно $h$ , производная $2 h x$ по $h$ равна $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Этап 3.3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Этап 3.3.20

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Этап 3.3.21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + 2 h)}$

Этап 3.3.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \cdot 2 x + h \cdot 2 h}$

Этап 3.3.22.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.22.2.1

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 \cdot h x + h \cdot 2 h}$

Этап 3.3.22.2.2

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h}$

Этап 3.3.22.2.3

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h^{1}}$

Этап 3.3.22.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1 + 1}}$

Этап 3.3.22.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{2}}$

Этап 3.3.22.2.6

Добавим $2 h x$ и $2 h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + h^{2} + 4 h x + 2 h^{2}}$

Этап 3.3.22.2.7

Добавим $h^{2}$ и $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 3 h^{2} + 4 h x}$

Этап 3.3.22.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 2 h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Этап 4.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Этап 4.4

Найдем предел $2 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Этап 4.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Этап 4.7

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Этап 4.8

Найдем предел $x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Этап 4.9

Вынесем член $4 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Этап 6.1.2

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Этап 6.2.3

Умножим $4 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $0$ на $4$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0 x}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0}$

Этап 6.2.4

Добавим $0 + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2}}$

Этап 6.2.5

Добавим $0$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{x^{2}}$

Этап 6.3

Объединим.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2} x^{2}}$

Этап 6.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2 + 2}}$

Этап 6.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{4}}$

Этап 6.5

Умножим $- 2 x$ на $1$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Этап 6.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 6.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Этап 6.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{3}}$