Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}{x^{2} - 1}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4}{x^{2} - 1}$

Этап 4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}{x^{2} - 1}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} + 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}{x^{2} - 1}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 1}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1 + 3 - 1 \cdot 4}{x^{2} - 1}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1 + 3 - 4}{x^{2} - 1}$

Этап 6.1.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 - 4}{x^{2} - 1}$

Этап 6.1.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 6.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$0$