Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 1} \sec (y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y) - 1)$

Этап 1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y) - 1)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot lim_{y \to 1} \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (y)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot {(lim_{y \to 1} \sec (y))}^{2} - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (y)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - {(lim_{y \to 1} \tan (y))}^{2} - lim_{y \to 1} 1)$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - lim_{y \to 1} 1)$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $y$ к $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Этап 9.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $1$ из $1 \cdot \sec^{2} (1)$ .

$\sec (1 (\sec^{2} (1)) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 10.2

Вынесем множитель $1$ из $- \tan^{2} (1)$ .

$\sec (1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1)$

Этап 10.3

Вынесем множитель $1$ из $1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1))$ .

$\sec (1 (\sec^{2} (1) - \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1)$

Этап 10.4

Применим формулу Пифагора.

$\sec (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\sec (1 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (1 - 1)$

Этап 10.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\sec (0)$

Этап 10.7

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$1$