Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2 + x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 1.5

Добавим $- 3 x$ и $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 1.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.6.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.2.6.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

Этап 2.1.3.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Этап 2.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Этап 2.1.3.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Этап 2.1.3.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Этап 2.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Этап 2.1.3.9.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Этап 2.1.3.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 \cdot 1 + 2)}$

Этап 2.1.3.9.3.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 + 2)}$

Этап 2.1.3.9.4

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (- 2 + 2)}$

Этап 2.1.3.9.5

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.9.6

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.6

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.12

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.13

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + 0) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.14

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 2.3.15

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Этап 2.3.17

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + 0)}$

Этап 2.3.18

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \cdot 1}$

Этап 2.3.19

Умножим $x^{2} - 3 x + 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.20.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.6

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.7

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.8

Вычтем $3 x$ из $- 2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 5 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 5 x + 3 - 3 x + 2}$

Этап 2.3.20.4.10

Вычтем $3 x$ из $- 5 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 3 + 2}$

Этап 2.3.20.4.11

Добавим $3$ и $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 5}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 5}$

Этап 3.1.3.7.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{3 - 8 \cdot 1 + 5}$

Этап 3.1.3.7.1.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{0}{3 - 8 + 5}$

Этап 3.1.3.7.2

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{0}{- 5 + 5}$

Этап 3.1.3.7.3

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 8 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Этап 3.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Этап 3.3.7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Этап 3.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Этап 3.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}$

Этап 3.3.8.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + 0}$

Этап 3.3.10

Добавим $6 x - 8$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $6 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{6 x - 8}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 8}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 4}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- 4)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 4)}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 4)}$

Этап 3.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 4}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}$

Этап 4.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4}$

Этап 4.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 4}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{3 - 4}$

Этап 6.1.3

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 6.2

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$