Математический анализ Примеры

$y = 2 x + 24$ , $y = x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x + 24 = x^{2}$

Этап 1.2

Решим $2 x + 24 = x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x + 24 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x + 24 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Перенесем $24$ .

$2 x - x^{2} + 24 = 0$

Этап 1.2.2.1.1.2

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 24 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 24 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Перепишем $24$ в виде $- 1 (- 24)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 24)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $- 2$ .

$- 6, 4 + y = x^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 6) (x + 4) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0 + y = x^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 6) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 6, - 4$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $6$ вместо $x$ .

$y = {(6)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $6$ вместо $x$ в $y = {(6)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 6^{2}$

Этап 1.3.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = 36$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$y = {(- 4)}^{2}$

Этап 1.4.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = 16$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(6, 36)$

$(- 4, 16)$

$(6, 36)$

$(- 4, 16)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{6} 2 x + 24 d x - \int_{- 4}^{6} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{6} 2 x + 24 - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{- 4}^{6} 2 x + 24 - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{6} 2 x d x + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 4}^{6} x d x + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - \int_{- 4}^{6} x^{2} d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{6})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $6$ и в $- 4$ .

$2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $24 x$ в $6$ и в $- 4$ .

$2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Этап 3.10.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $6$ и в $- 4$ .

$2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.2.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$2 (18 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$2 (18 - \frac{16}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (18 - \frac{8}{1}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.4.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$2 (18 - 1 \cdot 8) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$2 (18 - 8) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.6

Вычтем $8$ из $18$ .

$2 \cdot 10 + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.7

Умножим $2$ на $10$ .

$20 + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.8

Умножим $24$ на $6$ .

$20 + 144 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.9

Умножим $- 24$ на $- 4$ .

$20 + 144 + 96 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.10

Добавим $144$ и $96$ .

$20 + 240 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.11

Добавим $20$ и $240$ .

$260 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.12

Возведем $6$ в степень $3$ .

$260 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.13

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.13.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$260 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.13.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$260 - (72 - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Этап 3.10.2.4.14

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$260 - (72 - \frac{- 64}{3})$

Этап 3.10.2.4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$260 - (72 - - \frac{64}{3})$

Этап 3.10.2.4.16

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$260 - (72 + 1 (\frac{64}{3}))$

Этап 3.10.2.4.17

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$260 - (72 + \frac{64}{3})$

Этап 3.10.2.4.18

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$260 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3})$

Этап 3.10.2.4.19

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$260 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3})$

Этап 3.10.2.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$260 - \frac{72 \cdot 3 + 64}{3}$

Этап 3.10.2.4.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.21.1

Умножим $72$ на $3$ .

$260 - \frac{216 + 64}{3}$

Этап 3.10.2.4.21.2

Добавим $216$ и $64$ .

$260 - \frac{280}{3}$

Этап 3.10.2.4.22

Чтобы записать $260$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$260 \cdot \frac{3}{3} - \frac{280}{3}$

Этап 3.10.2.4.23

Объединим $260$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{260 \cdot 3}{3} - \frac{280}{3}$

Этап 3.10.2.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{260 \cdot 3 - 280}{3}$

Этап 3.10.2.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.4.25.1

Умножим $260$ на $3$ .

$\frac{780 - 280}{3}$

Этап 3.10.2.4.25.2

Вычтем $280$ из $780$ .

$\frac{500}{3}$

Этап 4