Математический анализ Примеры

$y = 7 - x^{2}$ , $y = x + 5$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$7 - x^{2} = x + 5$

Этап 1.2

Решим $7 - x^{2} = x + 5$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$7 - x^{2} - x = 5$

Этап 1.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$7 - x^{2} - x - 5 = 0$

Этап 1.2.3

Вычтем $5$ из $7$ .

$- x^{2} - x + 2 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2 + y = x + 5$

Этап 1.2.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x + 5$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = (1) + 5$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = (1) + 5$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 + 5$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (1) + 5$

Этап 1.3.2.3

Добавим $1$ и $5$ .

$y = 6$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = (- 2) + 5$

Этап 1.4.2

Подставим $- 2$ вместо $x$ в $y = (- 2) + 5$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 + 5$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (- 2) + 5$

Этап 1.4.2.3

Добавим $- 2$ и $5$ .

$y = 3$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

$(1, 6)$

$(- 2, 3)$

Этап 2

Изменим порядок $7$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 7$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 d x - \int_{- 2}^{1} x + 5 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - (x + 5) d x$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 7 - x - 1 \cdot 5$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- x^{2} + 7 - x - 5$

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} + 7 - x - 5 d x$

Этап 4.3

Вычтем $5$ из $7$ .

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} - x + 2 d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Этап 4.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x$

Этап 4.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

Этап 4.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

Этап 4.12.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 2$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 2}^{1}$

Этап 4.12.3

Найдем значение $2 x$ в $1$ и в $- 2$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.5

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.7

Добавим $1$ и $8$ .

$- \frac{9}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.8

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.8.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- 1 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.11

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.12

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.12.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.14

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.15

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.17.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 3 - \frac{1 - 4}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.17.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3 - \frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 - - \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 3 + 1 (\frac{3}{2}) + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.20

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$- 3 + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.21

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.22

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.24.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6 + 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.24.2

Добавим $- 6$ и $3$ .

$\frac{- 3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} + (2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.26

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{3}{2} + 2 - 2 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.27

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 + 4$

Этап 4.12.4.28

Добавим $2$ и $4$ .

$- \frac{3}{2} + 6$

Этап 4.12.4.29

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.12.4.30

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Этап 4.12.4.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Этап 4.12.4.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.32.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{- 3 + 12}{2}$

Этап 4.12.4.32.2

Добавим $- 3$ и $12$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 5