Математический анализ Примеры

$y = x^{3}$ , $y = 4 x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{3} = 4 x$

Этап 1.2

Решим $x^{3} = 4 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 4 x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0 + y = 4 x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 4 (0)$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = 4 (- 2)$

Этап 1.4.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$y = - 8$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 4 (2)$

Этап 1.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = 8$

Этап 1.6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{0} x^{3} d x - \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - (4 x) d x$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - 4 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.4

Умножим $16$ на $- 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.5

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 16}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 4}{1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.10

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{4}{2})$

Этап 3.7.2.3.11

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 3.7.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 3.7.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 3.7.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2}{1})$

Этап 3.7.2.3.11.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 4 - 4 (0 - 1 \cdot 2)$

Этап 3.7.2.3.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 4 - 4 (0 - 2)$

Этап 3.7.2.3.13

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 4 - 4 \cdot - 2$

Этап 3.7.2.3.14

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- 4 + 8$

Этап 3.7.2.3.15

Добавим $- 4$ и $8$ .

$4$

Этап 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} 4 x - (x^{3}) d x$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 4 x - x^{3} d x$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 4 x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 5.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 5.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 5.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Этап 5.8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

Этап 5.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Этап 5.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Этап 5.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$4 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$4 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (2 - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (2 + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$4 \cdot 2 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.7

Умножим $4$ на $2$ .

$8 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.8

Возведем $2$ в степень $4$ .

$8 - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.9

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$8 - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.9.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$8 - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 5.9.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 - (4 - \frac{0}{4})$

Этап 5.9.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$8 - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 5.9.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 5.9.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 5.9.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$8 - (4 - \frac{0}{1})$

Этап 5.9.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$8 - (4 - 0)$

Этап 5.9.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$8 - (4 + 0)$

Этап 5.9.2.3.13

Добавим $4$ и $0$ .

$8 - 1 \cdot 4$

Этап 5.9.2.3.14

Умножим $- 1$ на $4$ .

$8 - 4$

Этап 5.9.2.3.15

Вычтем $4$ из $8$ .

$4$

Этап 6

Добавим $4$ и $4$ .

$8$

Этап 7