Математический анализ Примеры

$y = \frac{7 x}{x - 3}$ , $(6, 14)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 6$ и $y = 14$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7 x}{x - 3}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 3$ .

$7 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$7 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$7 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.4.1

Вычтем $3$ из $0$ .

$7 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Этап 1.3.6.4.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 7 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.5

Объединим $- 7$ и $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.6.1

Умножим $- 7$ на $3$ .

$\frac{- 21}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{21}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 6$ .

$- \frac{21}{{((6) - 3)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $3$ из $6$ .

$- \frac{21}{3^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{21}{9}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $21$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$- \frac{3 (7)}{9}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{7}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{7}{3}$ и координаты заданной точки $(6, 14)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (14) = - \frac{7}{3} \cdot (x - (6))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 14 = - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 14 = 0 + 0 - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 14 = - \frac{7}{3} x - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{7}{3}$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{3}$ в числитель.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot - 6$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 (- 2))$

Этап 2.3.1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - 7 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.2.4

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + 14$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$y - 14 = - \frac{7 x}{3} + 14$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{7 x}{3} + 14 + 14$

Этап 2.3.2.2

Добавим $14$ и $14$ .

$y = - \frac{7 x}{3} + 28$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{7}{3} x) + 28$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{7}{3} x + 28$

Этап 3