Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x + \sin (x)}{2 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{2 x}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{2 x}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 x}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 x}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 x}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2} + 0 + \sin (0)}{2 x}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 + 0 + \sin (0)}{2 x}$

Этап 5.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{2 x}$

Этап 5.1.3

Добавим $0 + 0$ и $0$ .

$\frac{0 + 0}{2 x}$

Этап 5.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{2 x}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 x}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (0)}{2 (x)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 0}{2 x}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{x}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $x$ .

$0$