Математический анализ Примеры

$y = 4 x^{3} - 3 x$ , $(1, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$12 x^{2} - 3$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$12 {(1)}^{2} - 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$12 \cdot 1 - 3$

Этап 1.5.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 3$

Этап 1.5.2

Вычтем $3$ из $12$ .

$9$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $9$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 9 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 9 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $9 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 9 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $9$ на $- 1$ .

$y - 1 = 9 x - 9$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 9 x - 9 + 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $- 9$ и $1$ .

$y = 9 x - 8$

Этап 3