Математический анализ Примеры

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

Этап 1

Найдем область определения $y = \ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ в виде ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x {(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

${(x {(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

${(x {(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

${(x {(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

${(x {(x^{2} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.3

Применим правило умножения к $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{1} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.5

Упростим.

$x^{2} (x^{2} - 1) > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.7.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.8

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$x^{4} - 1 \cdot x^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.9

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} > 0^{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{4} - x^{2} > 0$

Этап 1.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{4} - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.3.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 1.2.3.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 1.2.3.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 1.2.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.2.3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.3.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 1.2.4

Найдем область определения $x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Этап 1.2.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.4.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 1.2.4.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 1.2.4.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.2.4.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Этап 1.2.4.2.6.1.3

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.2.4.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.4.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Этап 1.2.4.2.6.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.2.4.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.4.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Этап 1.2.4.2.6.3.3

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.2.4.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 1.2.4.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq 1$

Этап 1.2.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Этап 1.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 1$

Этап 1.3

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 1.4.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.4.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.4.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 1.4.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 1.4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.4.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.3

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.4.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.4.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Этап 1.4.6.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.4.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.4.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Этап 1.4.6.3.3

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.4.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 1.4.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq 1$

Этап 1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 1}$

Интервальное представление:

$(1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 1}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $1$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln ((1) \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Этап 2.2

Умножим $\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)}$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 (1 - 1)})$

Этап 2.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 \cdot 0})$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $0$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0})$

Этап 2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Этап 2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (1) = \ln (0)$

Этап 2.8

Натуральный логарифм нуля не определен.

$f (1) = Undefined$

Неопределенные

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . В данном случае получится точка $(2, \ln (2 \sqrt{3}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln ((2) \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим $2$ и $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 (2 - 1)})$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 \cdot 1})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3})$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $\ln (2 \sqrt{3})$ .

$y = \ln (2 \sqrt{3})$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $3$ в $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . В данном случае получится точка $(3, \ln (6 \sqrt{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln ((3) \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $3$ и $1$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (3 - 1)})$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 \cdot 2})$

Этап 4.2.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{8})$

Этап 4.2.2.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (2)})$

Этап 4.2.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Этап 4.2.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (3) = \ln (3 (2 \sqrt{2}))$

Этап 4.2.2.6

Умножим $2$ на $3$ .

$f (3) = \ln (6 \sqrt{2})$

Этап 4.2.2.7

Окончательный ответ: $\ln (6 \sqrt{2})$ .

$y = \ln (6 \sqrt{2})$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(1, Undefined), (2, 1.24), (3, 2.14)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 1.24 \\ 3 & 2.14 \end{array}$

Этап 5