Математический анализ Примеры

$2^{2 x} - 32 \cdot 2^{x} + 256 = 0$

Этап 1

Перепишем $2^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(2^{x})}^{2} - 32 \cdot 2^{x} + 256 = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Этап 3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Этап 3.1.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Этап 3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Приравняем $u - 16$ к $0$ .

$u - 16 = 0$

Этап 3.3

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$u = 16$

Этап 4

Подставим $16$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$16 = 2^{x}$

Этап 5

Решим $16 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 16$ .

$2^{x} = 16$

Этап 5.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{4}$

Этап 5.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 4$