Математический анализ Примеры

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Этап 2

Объединим $2$ и $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.5

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.8.3

Умножим $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ на $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Этап 5

Умножим $x - 1$ на ${(x - 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x - 1$ на ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3.2

Объединим противоположные члены в $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3.4

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3.6

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.3.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.8

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Этап 6.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$