Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - 6 x + 12}{x - 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 6 x + 12$ и $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 12] - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(x - 4) (2 x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x - 6) - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.3

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.5

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Вычтем $8 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 24 + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $- 14 x$ и $6 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 24 - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Вычтем $12$ из $24$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} - 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$